Chapter 07. 시간 복잡도

알고리즘 복잡도 표현 방법

1. 알고리즘 복잡도 계산이 필요한 이유

하나의 문제를 푸는 알고리즘은 다양할 수 있음

• 정수의 절대값 구하기
  • 1, -1 ->> 1
  • 방법1: 정수값을 제곱한 값에 다시 루트를 씌우기
  • 방법2: 정수가 음수인지 확인해서, 음수일 때만, -1을 곱하기

다양한 알고리즘 중 어느 알고리즘이 더 좋은지를 분석하기 위해, 복잡도를 정의하고 계산함

2. 알고리즘 복잡도 계산 항목

1. 시간 복잡도: 알고리즘 실행 속도
2. 공간 복잡도: 알고리즘이 사용하는 메모리 사이즈

가장 중요한 시간 복잡도를 꼭 이해하고 계산할 수 있어야 함

알고리즘 시간 복잡도의 주요 요소

반복문이 지배합니다.

생각해보기: 자동차로 서울에서 부산을 가기 위해, 다음과 같이 항목을 나누었을 때, 가장 총 시간에 영향을 많이 미칠 것 같은 요소는?

예:
    자동차로 서울에서 부산가기
      1. 자동차 문열기
      2. 자동차 문닫기
      3. 자동차 운전석 등받이 조정하기
      4. 자동차 시동걸기
      5. **자동차로 서울에서 부산가기 (가장 핵심적인 부분)**
      6. 자동차 시동끄기
      7. 자동차 문열기
      8. 자동차 문닫기

마찬가지로, 프로그래밍에서 시간 복잡도에 가장 영향을 많이 미치는 요소는 반복문

• 입력의 크기가 커지면 커질수록 반복문이 알고리즘 수행 시간을 지배함

알고리즘 성능 표기법

• Big O (빅-오) 표기법: O(N)
  • 알고리즘 최악의 실행 시간을 표기
  • 가장 많이/일반적으로 사용함
  • 아무리 최악의 상황이라도, 이정도의 성능은 보장한다는 의미이기 때문
• Ω (오메가) 표기법: Ω(N)
  • 오메가 표기법은 알고리즘 최상의 실행 시간을 표기
• Θ (세타) 표기법: Θ(N)
  • 오메가 표기법은 알고리즘 평균 실행 시간을 표기

시간 복잡도 계산은 반복문이 핵심 요소임을 인지하고, 계산 표기는 최상, 평균, 최악 중, 최악의 시간인 Big-O 표기법을 중심으로 익히면 됨

3. 대문자 O 표기법

• 빅 오 표기법, Big-O 표기법 이라고도 부름

• O(입력)

  • 입력 n 에 따라 결정되는 시간 복잡도 함수
  • O(1), O(log n), O(n), O(nlog n), O(n^2), O(2^n), O(n!)등으로 표기함
  • 입력 n 의 크기에 따라 기하급수적으로 시간 복잡도가 늘어날 수 있음
    • O(1) < O(log n) < O(n) < O(nlog n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!)
      • 참고: log n 의 베이스는 2 - log_2 n

• 단순하게 입력 n에 따라, 몇번 실행이 되는지를 계산하면 됩니다.

  • 표현식에 가장 큰 영향을 미치는 n 의 단위로 표기합니다.
  • n이 1이든 100이든, 1000이든, 10000이든 실행을
    • 무조건 2회(상수회) 실행한다: O(1)

      if n > 10:
          print(n)

    • n에 따라, n번, n + 10 번, 또는 3n + 10 번등 실행한다: O(n)

      variable = 1
         for num in range(3):
            for index in range(n):
                print(index)

    • n에 따라, n^2번, n^2 + 1000 번, 100n^2 - 100, 또는 300n^2 + 1번등 실행한다: O(n^2)

      variable = 1
            for i in range(300):
               for num in range(n):
                  for index in range(n):
                      print(index)

      
      * 빅 오 입력값 표기 방법

• 예:

  • 만약 시간 복잡도 함수가 2n^2 + 3n 이라면
    • 가장 높은 차수는 2n^2
    • 상수는 실제 큰 영향이 없음
    • 결국 빅 오 표기법으로는 O(n^2) (서울부터 부산까지 가는 자동차의 예를 상기)

4. 실제 알고리즘을 예로 각 알고리즘의 시간 복잡도와 빅 오 표기법 알아보기

연습1: 1부터 n까지의 합을 구하는 알고리즘 작성해보기

알고리즘1: 1부터 n까지의 합을 구하는 알고리즘1

• 합을 기록할 변수를 만들고 0을 저장
• n을 1부터 1씩 증가하면서 반복
• 반복문 안에서 합을 기록할 변수에 1씩 증가된 값을 더함
• 반복이 끝나면 합을 출력

def sum_all(n):  
    total = 0  
    for num in range(1, n+1): //1부터 n까지 반복하기 위해 +1  
        total += num
        return total

sum_all(100)  
output: 5050

시간 복잡도 구하기

• 1부터 n까지의 합을 구하는 알고리즘1
  • 입력 n에 따라 덧셈을 n 번 해야 함 (반복문!)
  • 시간 복잡도: n, 빅 오 표기법으로는 O(n)

알고리즘2: 1부터 n까지의 합을 구하는 알고리즘2

• {n(n+1)}/{2}

def sum_all(n):
  return int(n*(n+1)/2)

sum_all(100)  
output: 5050

시간 복잡도 구하기

• 1부터 n까지의 합을 구하는 알고리즘2
  • 입력 n이 어떻든 간에, 곱셈/덧셈/나눗셈 하면 됨 (반복문이 없음!)
  • 시간 복잡도: 1, 빅 오 표기법으로는 O(1)

어느 알고리즘이 성능이 좋은가요?

• 알고리즘1 vs 알고리즘2
  • O(n) vs O(1)

이와 같이, 동일한 문제를 푸는 알고리즘은 다양할 수 있음
어느 알고리즘이 보다 좋은지를 객관적으로 비교하기 위해, 빅 오 표기법등의 시간복잡도 계산법을 사용함

이후 자료구조, 알고리즘부터는 빅 오 표기법으로 성능을 계산해보면서, 빅 오 표기법과 계산방법에 익숙해지기로 합니다.